目标
把顶点从三维世界空间变换至二维屏幕空间，绘制顶点（如银河星系数据），操控摄像机旋转模型。
在渲染3D场景之前，先得做一些数学工作。上面提到的“顶点”、“空间变换”、“旋转”等术语，都需要依赖3D数学库来实现。
至少要包括：
- 三维向量（Vector3）
- 四元数（Quaternion）
- 矩阵（Matrix）
- 空间变换（Transform）
这一阶段的主要目标就是实现这些数学库。
在实现的过程中，我的主要参考资料是 jMonkeyEngine 数学库的源代码，以及《3D数学技术：图形与游戏开发》这本书。
实现
约定
在做数学计算之前，应该先约定坐标系和计算规则：
- 使用OpenGL的右手坐标系
- 使用列向量和列矩阵进行计算
行向量和列向量的区别，可以参考这篇文章：矩阵和向量的乘法顺序。
除此之外，还有另外一个条件：
- 尽量使用float精度进行运算。
这么做的原因，是想和OpenGL保持一致。同时，我在学习jMonkeyEngine时已经习惯了这种规则。
数学库是较为基础、也较为复杂的内容，我将用几章来分别实现。网上有很多关于3D数学的资料，如果读者对我下面写的东西不感兴趣，可以直接跳过一这一部分。
三维向量
Vector3f 可以用来表示三维空间中的一个“点”，这时 (x, y, z) 描述了该“点”在自身坐标系统中的相对位置。
Vector3f 也可以用来表示方向，看作是从原点 (0, 0, 0) 出发，指向 (x, y, z) 的箭头。这个“箭头”具有长度，也称为向量的模。
- 文章：Java软光栅渲染器-三维向量
- 代码：Vector3f
- 扩展实现：Vector2f
- 扩展实现：Vector4f
四元数
四元数包含一个标量分量和一个3D向量分量。经常记标量分量为 w，记向量分量为单一 v 或分开的 x, y ,z。两种记法的分别如下：
- [w, v]
- [w, x, y, z]
四元数的主要用来描述三维空间中的旋转，它可以解决“万象锁”的问题。当今3D数学中四元数存在的主要理由是一种称为 slerp 的运算，它是球面线性插值的缩写（Spherical Linear Interpolation）。slerp 运算非常有用，因为它可以在两个四元数之间平滑插值。slerp 运算避免了欧拉角插值的所有问题。
- 文章：Java软光栅渲染器-四元数
- 代码：Quaternion
矩阵
矩阵用来对向量进行线性变换。它可以用来变换物体，比如旋转、缩放、投影、镜像、仿射；
矩阵也可以用来变换坐标系，比如从模型空间（model space）到世界空间（world space）、从世界空间转换（world space）到眼睛空间（Eye space）。
这两种变换在某种意义上是等价的。
- 文章：Java软光栅渲染器-矩阵
- 代码：Matrix4f
- 扩展实现：Matrix3f
空间变换
在3D程序中，模型一般有三种空间变换：
- 缩放，用一个三维向量来表示（scale）
- 旋转，用一个四元数或3*3矩阵来表示（rotation）
- 平移，用一个三维向量来表示（translation）
对于一个三维向量vec来说，原本需要通过上述三个变换，才能得到最终结果。注意这个变换的顺序不能改变，否则可能会变换错误。
// 先缩放，再旋转，再平移
Vector3f dest = position.add(rotation.mult(scale.mult(vec)));
现在可以用一个4*4矩阵来代表这三种变换，一次性完成空间变换。
Matrix4f mat = ...;// 计算矩阵
// 空间变换
Vector3f dest = mat.mult(vec);
一般在开发中，我们会定义一个Transform类来记录三种空间变换，编程时可以单独计算这三种变换。同时还应该提供一个转换为矩阵的方法，这样在变换物体时就可以一步到位。
总结
建立数学库的基本目标已经达成，下面可以继续做渲染管线了。